Selain itu, buku ini juga ditata dengan format yang menarik dan didukung dengan foto dan ilustrasi yang representatif. Penggunaan bahasa yang sederhana sesuai dengan tingkatan kognitif siswa sehingga membuat pembaca lebih mudah memahaminya. Anda telah mempelajari statistika di Kelas IX. Materi tersebut akan dipelajari dan dikembangkan sampai ukuran penyebaran data. Dalam kehidupan sehari-hari, statistika memegang peranan yang sangat penting dalam berbagai bidang, seperti ekonomi, industri, pendidikan, olahraga, biologi, dan lain-lain.
Uraian berikut. Menyajikan Data Statistika sangat erat kaitannya dengan data. Oleh karena itu, sebelum dijelaskan mengenai pengertian statistika, terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai data. Jelaskan bahwa fungsi berikut mempunyai 4 sifat dari Teorema 2. Var X c. Stok komputer mempunyai cadangan tahunan untuk paket copi software yang merupakan variabel random diskrit X.
Pemilik stok memesan empat copi paket dengan harga Rp 10 ribu per copi dan mejualnya kepada pengguna dengan harga Rp 35 ribu per copi. Pada akhir tahun copi paketdianggap kadaluarsa dan pemilik dianggap rugi pada copi yang tak terjual.
Apakah batas ini berguna? Tentukan approximate mean dan variansi dari: x a. Pada soal no. Kemudian sejumlah copi terjual, katakan S yang kurang dari c atau X. Gambarkan grafik CDF nya b. Tentukan f x c. Gambarkan f x d. Tentukan E x dan Var x Sket f x b. Dalam kasus yang lebih rumit, yang tak Bernoulli, keadaannya sering tidak jelas, dan buktinya akan sulit. Contoh 1: Lampu hijau pada suatu persimpangan nyala selama 15 detik, yang kuning 5 detik, dan yang merah 55 detik.
Maka X mempunyai kemungkinan nilai 0, 1, 2,. Peluangnya adalahperkalian p sebanyak x dan 1 — p sebanyak n — x , hanya susunannya yang berlainandengan persamaan di atas. Dengan peluang berhasil 0.
Contoh 3 : Main dadu. Suatu permainan di pasar malam terdiri atas melantun tiga dadu setangkup. Tiap orang membayar Rp untuk main, menang Rp bila tepat satu muncul muka angka 6, Rp bila tepat dua muncul muka angka 6, dan Rp bila ketiganya muncul muka angka 6. Cari fungsi peluang dari variabel random kemenangan bersih pemain.
Misalkan Y menyatakan kemenangan bersih. Kemungkinan nilai Y adalah , 1- 1,, ; yakni, -1, 0, 1, 2, : Misalkan S menyatakan peristiwa 6 muncul pada suatu lantunan satu dadu, dan perhatikan bahwa percobaan itu sepadan dengan pensampelan dengan pengembalian bola tiga kali dari suatu kantong yang berisi 6 bola bernomor 1, 2, 3, 4, 5, 6. Jadi, X suatu variabel random hipergeometrik dengan parameter n, a, N.
Untuk menentukan proporsi bahan yang cacat, yang sering menjadi permasalahan, kita dapat mensampel seluruh pengiriman dan mengujinya satu per satu. Akan tetapi, proses ini sering terlalu mahal. Juga, dalam beberapa hal pengujian justru merusak, misalnya, bahan yang diuji menjadi rusak, sebagai contoh dalam pengujian umur baterai digunakan terus — menerus sampai habis, dan menguji seluruh barang justru merusak seluruhnya sehingga yang baik akan rusak seperti cacat.
Jadi, biasanya penerima barang mengambil suatu sampel acak kecil tanpa pengembalian dari seluruh populasi barang kiriman. Seluruh pengiriman diterima bila dalam sampel tersebut tidak lebih dari sejumlah tertentu barang yang cacat. Misalkan sesudah penerimaan kiriman kita mengambil sampel acak barang sebesar 10 dari padanya tanpa pengembalian dan menganggap seluruh kiriman baik bila yang cacat daripadanya tidak lebih dari 2.
Berapa peluang kita menerima menganggapnya baik seluruh kiriman? Berapa peluang bahwa dari 10 halaman yang dihasilkan printer ini paling sedikit 7 halaman yang tidak mempunyai kerusakan? Usaha-usaha tersebutsaling bebas satu sama lain. Misalkan X menyatakan banyaknya usaha yang diperlukan sampai E sukses. Jadi, X dikatakan berdistribusi geometrik. Distribusi Uniform seragam Diskrit Berbagai masalah penting yang melibatkan kasus peluang klasikal, dapat dibuat model variabel random diskrit yang mengasumsikan semua nilainya berpeluang sama.
Variabel random diskrit X mempunyai distribusi uniform seragam diskrit pada bilangan bulat 1,2,3, Distribusi khusus ini dikenal sebagai distribusi uniform pada interval a, b. Ini memberikan model peluang untuk memilih sebuah titik secara random pada interval a,b. Contoh yang lebih khusus adalah waktu menunggu bus secara random. Yang terkait dalam pembentukan bilangan random. Distribusi Gamma Distribusi kontinu yang sering terjadi dalam aplikasi adalah distribusi Gamma.
Nama tersebut terkait dengan fungsi yang disebut fungsi Gamma. Distribusi tersebut merupakan aproksimasi untuk distribusi variabel random Binomial. Suatu kantor mempunyai 10 printers. Masing-masing printer membutuhkan ribbon baru hampir setiap tujuh pekan. Jika stok mendapatkan awal pekan tertentu hanya ada 5 ribbon, berapa peluang bahwa persediaan akan habis dalam pekan itu. Jwb: 0, 2. Dalam 10 soal tes tipe B-S a Berapa peluang diperolehnya semua jawaban benar dengan cara menebak?
Seorang pemain basket melakukan shootsebanyak 10 shotdan peluang sukses masing-masing shot 0. Empat mesin pesawat dapat terbang jika sekurang-kurangnya dua mesin bekerja. Jika sebuah mesin mempunyai kegagalan dengan peluang q, berapa peluang bahwa pesawat akan terbang selamat? Sebuah toples berisi 30 jelly hijau and 20 jelly ungu. Dipilih 10 jelly secara random dari toples tersebut. Sebuah kantor mempunyai 10 karyawan, 3 laki-laki dan 7 wanita. Manajer memilih 4 karyawan secara random untuk mengikuti short course pada perbaikan kualitas.
Lima kartu diambil tanpa pengembalian dari tumpukan yang berisi 52 kartu. Tentukan peluang masing-masing peristiwa berikut: a Tepat dua aces. Suatu kiriman 50 alat mesin terdiri 42 yang baik dan 8 yang rusak. Seorang inspektur memilih 5 alat secara random tanpa pengembalian. Seseorang membayar Rp ,- untuk sekali lemparan boneka yang jika menang akan mendapatkan Rp ,-.
Peluang sukses masing-masing lemparan adalah 0,1. Tiga orang bersama sama melemparkan toss koin untuk melihat siapakah yang akan membayar kopi. Jika semua ketiganya muncul muka yang sama, mereka melempar lagi. Jika ketiganya tidak sama, maka orang yang ganjil yang beda membayar kopi. Seperti pada soal no. Berapa peluang bahwa anda akan menggunakannya? Peluang sukses peluru meluncur adalah 0. Uji luncur dikendalikan sampai tiga luncuran sukses. Berapa peluang masing-masing berikut: a Tepat enam luncuran yangakan dibutuhkan b Kurang dari enam luncuran yang akan dibutuhkan.
Pandang dadu sisi enam beraturan digelindingkan berulang-ulang, dan hasilnya 1, 2, 3, 4, 5 atau 6yang dicatat pada setiap gelindingan. Tentukan peluang peristiwa dalam satu jam untuk masing-masing peristiwa berikut: a Tepat tujuh calls yang datang b Paling banyak tujuh calls yang datang.
Dalam perakitan komponen eleltronik tertentu, kerusakan komponen terjadi secara independen dengan peluang 0. Diperoleh perakitan komponen dalam setiap jam, a Untuk berapa jam, bahwa peluang banyaknya komponen yang rusak paling banyak dua? Peluang bahwa tipe komponen elektronik tertentu akan gagal dalam jam operasi pertama adalah 0, Jika komponen dites secara independen, tentukan dengan approximation Poisson, peluang bahwa paling banyak dua komponen akan gagal dalam jam pertama.
Jwb: 0, Seorang inspektur memilih item secara random dari perusahaan tersebut. Approximate peluang bahwa tepat lima item yang rusak terpilih. Tentukan peluang bahwa keduanya A dan B terjadi. Sebuah dadu bersisi 20 mempunyai masing-masing muka yang ditandai dengan bilangan bulat yang berbeda dari 1 s.
Diasumsikan bahwa tiap-tiap muka berkemungkinan sama muncul pada pengguliran tunggal. Tentukan MGF dari X. Kekuatan logam tertentu adalah variabel random X. Jika toko buka pada pukul 8 pagi, tentukan peluang bahwa : a Pelanggan ketiga datang antara dan Bagaimana membandingkan ini terhadap a? Sehingga distribusi geometrik lebih mudah dicari dengan MGF. Setelah dikaji lebih lanjut, ternyata distribusi ini dapat dengan mudah dicari menggunakan MGF. Nilai x mungkin merupakan hasil pengukuran k karakter atau merupakan hasil pengukuran satu karakteristik sebanyak k kali.
Selanjutnya x dapat menyajikan hasil k ulangan percobaan variabel tunggal. Dalam bab ini akan dikaji distribusi variabel random diskrit bersama, distribusi variabel random kontinu bersama, dan sampel random. Tentukan konstanta c. Konsep ini berlaku baik dalam variabel random diskrit maupun kontinu. Definisi 4. Lima kartu diambil tanpa pengembalian dari tumpukan 52 kartu.
Jika X menyatakan banyaknya aces, Y banyaknya kings, dan Z banyaknya queens yang diperoleh. Tentukan peluang masing-masing peristiwa berikut : a. A jika diketahui B f. Tuliskan persamaan pdf bersama dari X, Y, Z. Kita simpulkan bahwa P 4 , dalam hal ini u4 adalah benar. Dengan demikian u1. Dengan pengalaman belajar yang kamu peroleh pada penyelesaian Masalah 1.
Selidiki suatu formula yang memenuhi pola barisan tersebut. Sebelum menentukan suku ke 1. Alternatif Penyelesaian: Analog dengan konsep yang diberikan pada Masalah 1.
Un 50 9,47 40 8,38 30 7,30 6,23 20 5,17 4,12 10 3,8 2,5 1,3 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Gambar 1. Sebaran titik yang dibentuk oleh n dengan suku-suku barisan 3, 5, 8, 12, 17, 23, 30, 38,47, … Dengan mencermati Gambar 1.
Tentu kamu dapat membedakan dapat dibagi dan habis dibagi. Misalnya, 36 habis dibagi 3, tetapi 36 tidak habis dibagi oleh 7. Pada subbab ini, kita akan mengkaji bagaimana penerapan prinsip induksi matematika pada konsep keterbagian suatu formula bilangan asli. Pada contoh ini kita harus menunjukkan bahwa 11n — 6 dapat dituliskan sebagai bilangan kelipatan 5. Akan ditunjukkan bahwa P n memenuhi kedua prinsip induksi matematika.
Dengan demikian P 3 habis dibagi 5. Untuk lebih jelasnya mari kita cermati contoh berikut ini. Terbukti bahwa P 3 benar. Dengan demikian 4 diperoleh P 3 benar. Dengan cara yang sama, karena P 4 benar maka P 5 benar. Untuk pembahasan baik masalah maupun contoh yang dikaji mulai Sub bab 1. Akan tetapi, apakah benar untuk setiap formula yang diberikan selalu memenuhi kedua prinsip induksi matematika?
Mari kita cermati kasus berikut ini. Alternatif Penyelesaian: Sebelumnya kamu sudah mengetahui konsep bilangan prima. Mari kita cermati yang disajikan pada tabel berikut. Uji Kompetensi 1. Buktikan bahwa pernyataan berikut ini adalah salah. Sertakan alasan untuk setiap jawaban yang kamu berikan. Rancang suatu formula untuk setiap pola barisan yang diberikan. Jelaskan alasan untuk setiap formula yang kamu peroleh. Selidiki kebenaran setiap pernyataan matematis berikut ini. Untuk soal nomor 2, buktikan formula yang ditemukan dengan mengguna- kan induksi matematika.
Untuk soal nomor 6 — nomor 15, gunakan induksi matematika untuk mem- buktikan setiap formula yang diberikan. Misalnya seluruh tumpukan piringan ada pada tiang pertama dan akan dipindahkan ke salah satu tiang, dengan aturan bahwa setiap pemidahan piringan harus tersusun dengan piringan kecil harus berada di atas piringan yang lebih besar. Berapa kali pemidahan n piringan tersebut sedemikian sehingga seluruh piringan berada pada satu tiang yang lain.
Selesaikan masalah di atas. Jelaskan proses yang kamu temukan di depan guru dan temanmu. Pastikan cara yang kamu peroleh merupakan cara yang paling efektif. Penutup Beberapa hal penting yang diperlukan dari pembelajaran Induksi Matematika adalah sebagai berikut: 1. Salah satu dasar berpikir dalam matematika ialah penalaran deduktif. Penalaran induksi merupakan penarikan kesimpulan dari berbagai kajian- kajian atau fakta yang valid. Prinsip induksi matematika merupakan suatu alat yang dapat digunakan membuktikan suatu jenis pernyataan matematis.
Dengan mengasumsikan P n sebagai pernyataan bilangan asli yang benar. Pernyataan bilangan asli P n dikatakan terbukti benar menurut prinsip induksi matematika jika memenuhi kedua prinsip induksi matematika. Untuk langkah awal prinsip induksi matematika, pengujian P n harus mempertimbangkan nilai n yang besar. Hal ini diperlukan untuk menjamin kebenaran P n. Jika salah satu dari prinsip induksi matematika tidak dipenuhi oleh suatu pernyataan P n , maka P n salah, untuk setiap n bilangan asli.
Penguasaan kamu terhadap prinsip induksi matematika sangat diperlukan pada saat kamu akan mempelajari konsep barisan dan deret bilangan. Selain itu, jika kamu berminat mempelajari teknik informasi dan kajian komputer, prinsip induksi matematika merupakan salah satu materi prasyarat. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar Setelah mengikuti pembelajaran program linear Melalui pembelajaran program linear, siswa siswa mampu: memperoleh pengalaman belajar: 3.
Materi Pembelajaran 2. Dalam pertidaksamaan, prinsip yang ada pada persamaan juga kita gunakan dalam menyelesaikan pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Prinsip yang dimaksud adalah menentukan nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan linear tersebut. Dalam kehidupan sehari-hari, banyak kita jumpai kasus yang melibatkan pembatasan suatu hal. Contohnya, lowongan kerja mensyaratkan pelamar dengan batas usia tertentu, batas nilai cukup seorang pelajar agar dinyatakan lulus dari ujian, dan batas berat bersih suatu kendaraan yang diperbolehkan oleh dinas perhubungan.
Perhatikan beberapa masalah pertidaksamaan berikut. Masalah 2. Harga setiap barang di toko tersebut telah tersedia di daftar harga barang sehingga Santi dapat memperkirakan peralatan sekolah apa saja yang sanggup dia beli dengan uang yang dia miliki. Berdasarkan daftar harga, jika Santi membeli 2 seragam sekolah dan 3 buku maka dia masih mendapatkan uang kembalian.
Dapatkah kamu memodelkan harga belanjaan Santi tersebut? Selengkapnya kita sajikan pada tabel berikut. Tabel 2. Tabel di atas masih dapat dilanjut hingga tak hingga banyaknya nilai x dan y yang memenuhi 2a. Menurut kamu, berapa harga paling mahal satu baju dan harga paling mahal satu buku yang mungkin dibeli oleh Santi? Berikan penjelasan untuk jawaban yang kamu berikan.
Secara geometris, himpunan penyelesaian di atas, diilustrasikan sebagai berikut. Dalam buku ini, untuk semua graik persamaan linear atau sistem pertidaksamaan linear, Daerah Bersih merupakan daerah penyelesaian pertidaksamaan atau sistem pertidaksamaan yang dikaji.
Tentunya, kamu dapat memilih titik yang tak hingga banyaknya yang terdapat pada daerah penyelesaian. Dia hendak menanam jagung dan kentang di lahan tersebut. Karena tidak selalu tersedia modal yang cukup, Pak Rianto tidak memungkinkan untuk mengolah seluruh lahannya, akan tetapi dia ingin lahannya lebih luas ditanami kentang.
Tentukan luas lahan yang mungkin untuk ditanam jagung dan kentang. Selengkapnya disajikan pada tabel berikut. Sistem ujian yang selektif dan kompetetif, mengharuskan setiap peserta ujian harus memiliki nilai gabungan tes tertulis dan tes isik minimal 65, dengan bobot 0,6 untuk nilai tes tertulis dan 0,4 tes isik. Namun, untuk setiap tes harus memiliki nilai minimal Nyatakanlah masalah ini dalam simbol matematik dan tentukanlah himpunan penyelesaiannya.
Diketahui bahwa bobot untuk setiap nilai tes berturut-turut adalah 0,6 dan 0,4. Tentunya, kamu dapat meneruskan mengisi Tabel 2. Hal ini, yang menegaskan bahwa tidak cukup yang memberikan graik atau gambar untuk bukti atau jawaban untuk suatu masalah. Nah, dari Masalah 2. Contoh 2. Himpunan penyelesaian bagian b ini, jika kita ilustrasikan seperti gambar berikut. Misalnya titik 12,5 , 13,2 , mengakibatkan c. Secara geometri, himpunan penyelesaian di atas digambarkan sebagai berikut.
Apakah semua pertidaksamaan memiliki himpunan penyelesaian? Berikan penjelasan atas jawaban kamu. Misalkan diberikan suatu himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan yang disajikan pada suatu graik, bagaimana caranya membentuk pertidaksamaan yang memenuhi himpunan penyelesaian tersebut?
Misalnya, seorang petani ingin memanen padinya sebanyak-banyak, tetapi kendala cuaca dan hama terkadang tidak dengan mudah dapat diatasi. Seorang pedagang ingin memperoleh keuntungan sebesar-besarnya tetapi terkendala dengan biaya produksi atau biaya pengangkutan atau biaya perawatan yang besar.
Masalah-masalah kontekstual ini, akan menjadi bahan kajian kita selanjutnya. Mari kita mulai dengan masalah transmigrasi berikut ini. Karena keterbatasan sumber daya petani harus menentukan berapa bagian yang harus ditanami padi dan berapa bagian yang harus ditanami jagung, sedangkan palawija lainnya ternyata tidak menguntungkan.
Untuk suatu masa tanam, tenaga yang tersedia hanya 1. Diketahui pula bahwa untuk menghasilkan 1 kuintal padi diperlukan 10 jam-orang tenaga dan 5 kilogram pupuk, dan untuk 1 kuintal jagung diperlukan 8 jam-orang tenaga dan 3 kilogram pupuk. Kondisi tanah memungkinkan menghasilkan 50 kuintal padi per hektar atau 20 kuintal jagung per hektar. Pendapatan petani dari 1 kuintal padi adalah Rp Masalah bagi petani ialah bagaimanakah rencana produksi yang memaksimumkan pendapatan total?
Artinya berapa hektar tanah harus ditanami padi dan berapa hektar tanah harus ditanami jagung Perumusan Masalah: Mari kita mengkaji jika hasil padi dan jagung dinyatakan per kuintal. Berdasarkan masalah di atas, diketahui bahwa setiap 1 hektar menghasilkan 50 kuintal padi. Artinya, untuk 1 kuintal padi diperlukan 0,02 hektar.
Demikian juga, untuk 1 kuintal jagung diperlukan 0,05 hektar. Cermati angka-angka yang tersaji pada tabel berikut ini! Satuan jam-orang man-hour adalah banyak orang kali banyak jam bekerja. Kita anggap asumsi bahwa setiap transmigran memiliki tenaga dan waktu yang relatif sama. Jika ada kendala air maka satuannya adalah banyak jam membuka saluran tersier untuk mengalirkan air ke sawah.
Batas ketersediaan dalam soal ini kebetulan semuanya berupa batas atas. Alternatif Penyelesaian: Besarnya pendapatan kelompok petani dipengaruhi banyak kuintal padi dan jagung yang diproduksi. Tentunya, besar pendapatan tersebut merupakan tujuan kelompok tani, tetapi harus mempertimbangkan keterbatasan sumber luas tanah, tenaga dan pupuk. Misalkan x : banyak kuintal padi yang diproduksi oleh kelompok tani y : banyak kuintal jagung yang diproduksi oleh kelompok tani.
Untuk memperoleh pendapatan terbesar, harus dipikirkan keterbatasan- keterbatasan berikut: a. Banyak hektar tanah yang diperlukan untuk x kuintal padi dan untuk y kuintal jagung tidak boleh melebihi 10 hektar. Untuk ketersediaan waktu jam-orang tiap-tiap padi dan jagung hanya tersedia waktu tidak lebih dari 1. Jumlah pupuk yang tersedia untuk padi dan jagung tidak lebih dari kilogram. Dengan semua keterbatasan kendala a , b , dan c , kelompok tani ingin mengharapkan pendapatan Rp Pemecahan sistem tersebut dapat dikerjakan dengan metode graik dibahas pada subbab berikutnya.
Hal ini merupakan pengembangan konsep pertidaksamaan linear satu variabel yang telah kamu pelajari pada Kelas X. Gambarkan setiap pertidaksamaan sebagai suatu persamaan garis lurus. Setiap garis akan membagi dua bidang kartesius, untuk menentukan daerah penyelesaian, ambil sembarang titik di salah satu bagian bidang tadi, misalnya titik A. Kemudian ujian kebenaran pertidaksamaan dengan menggunakan titik A.
Jika pertidaksamaan bernilai benar, maka bidang asal titik A merupakan daerah penyelesaian. Jika bernilai salah, maka bidang yang bukan asal titik A merupakan daerah penyelesaian. Ulangi langkah 1 dan 2 untuk semua pertidaksamaan yang telah dirumuskan. Kemudian, perhatikan irisan atau daerah yang memenuhi untuk setiap pertidaksamaan yang diberikan.
Perhatikan syarat non — negatif untuk setiap variabel. Nilai variabel tidak selalu positif. Untuk pendapatan, tentu dimaksimumkan dan sebaliknya untuk biaya tentu diminimumkan. Untuk masalah ini, kelompok tani tentu hendak memaksimumkan pendapatan, melalui memperbanyak kuintal padi dan jagung yang dijual berturut-turut Rp Rumusan ini disebut sebagai fungi tujuan; sebut Z x, y.
Untuk menyelesaikan ini, kita akan bahas pada subbab berikutnya. Selain masalah transmigrasi, berikut ini kita kaji bagaimana model matematika masalah produksi suatu perusahaan. Perusahaan harus mempunyai persediaan paling sedikit resistor, transistor, dan kapasitor, yang diproduksi melalui 2 mesin, yaitu: mesin A, untuk setiap satuan jam kerja hanya mampu memproduksi 20 resistor, 10 transistor, dan 10 kapasitor; mesin B, untuk setiap satuan jam kerja hanya mampu memproduksi 10 resistor, 20 transistor, dan 30 kapasitor.
Jika keuntungan untuk setiap unit yang diproduksi mesin A dan mesin B berturut-turut adalah Rp Bentuklah model matematika masalah perusahaan Galang Jaya. Alternatif Penyelesaian: Semua data yang diketahui pada masalah ini, kita sajikan pada tabel berikut. Mesin B …. Persediaan Dengan memisalkan x: banyak unit barang yang diproduksi mesin A y: banyak unit barang yang diproduksi mesin B. Dengan demikian kita dapat menuliskan model matematika yang menggambar- kan kondisi pada Tabel 2.
Secara geometri, kondisi kendala persedian dan kendala non—negatif, disajikan pada gambar berikut. Berbeda dengan Masalah 2. Selanjutnya, kita dapat menuliskan fungsi tujuan atau fungsi sasaran masalah ini, yaitu pemilik perusahaan tentunya ingin memaksimalkan keuntungan. Hal ini akan kita kaji pada subbab berikutnya. Dari tiga ciri di atas, dapat kita simpulkan masalah program linear dua variabel dirumuskan sebagai berikut: Deinisi 2.
Untuk tiga variabel atau lebih dibutuhkan pengetahuan lanjutan tentang teknik menyelesaikan sistem persamaan atau pertidaksamaan linear.
Selain bentuk umum program linear dua variabel di atas, kita juga menyimpulkan konsep tentang daerah penyelesaian, sebagai berikut. Untuk memantapkan pengetahuan dan keterampilan kamu dalam menggambarkan sistem pertidaksamaan yang memenuhi suatu masalah program linear, mari kita cermati pembahasan soal berikut ini.
Tentu, semua daerah penyelesaian tersebut nanti harus disajikan dalam satu bidang koordinat kartesius. Daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaan a di atas, adalah sebagai berikut. Hal ini, perlu dicatat, bahwa tidak semua masalah memiliki penyelesaian. Tanpa menggambarkan graik, tentukan himpunan penyelesaian jika ada setiap pertidaksamaan di bawah ini.
Untuk soal No. Untuk setiap graik di bawah ini, tentukan pertidaksamaan yang tepat memenuhi daerah penyelesaian. PT Lasin adalah suatu pengembang perumahan di daerah pemukiman baru. PT tersebut memiliki tanah seluas Jumlah rumah yang akan dibangun tidak lebih unit. Pengembang merancang laba tiap-tiap tipe rumah Rp2. Kemudian gambarkan daerah penyelesaian untuk sistem pertidaksamaannya. Perhatikan graik-graik di bawah ini.
Nyatakan pertidaksamaan-pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah yang memenuhi. Seorang atlet diwajibkan makan dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, atlet itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Harga tiap-tiap 1 tablet, Rp1. Modelkan masalah di atas.
Kemudian gambarkan graik model matematika- nya untuk menemukan daerah penyelesaian. Untuk setiap graik di bawah ini, tentukan sistem pertidaksamaan yang memenuhi daerah penyelesaian yang diberikan.
Sebuah toko bunga menjual 2 macam rangkaian bunga. Rangkaian I memerlukan 10 tangkai bunga mawar dan 15 tangkai bunga anyelir, Rangkaian II memerlukan 20 tangkai bunga mawar dan 5 tangkai bunga anyelir. Persediaan bunga mawar dan bunga anyelir masing-masing tangkai dan tangkai. Rangkaian I dijual seharga Rp Modelkan masalah di atas dalam bentuk model matematika.
Kemudian gambarkan graik model matematikanya. Perhatikan masalah yang dihadapi seorang penjaja buah-buahan berikuti ini. Pak Benni, seorang penjaja buah-buahan yang menggunakan gerobak menjual apel dan pisang.
Harga pembelian apel Rp Beliau hanya memiliki modal Rp2. Padahal keuntungan tiap kilogram apel 2 kali keuntungan tiap kilogram pisang. Tentukan tiga titik yang terdapat pada graik daerah penyelesaian masalah ini.
Setelah kita sudah memahami menggambarkan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan, kita tinggal memahami bagaimana cara menentukan nilai fungsi tujuan di daerah penyelesaian. Nilai suatu fungsi sasaran ada dua kemungkinan, yaitu bernilai maksimum atau minimum. Istilah nilai minimum atau nilai maksimum, disebut juga nilai optimum atau nilai ekstrim.
Jadi, pembahasan kita selanjutnya bagaimana konsep menentukan nilai optimum suatu fungsi tujuan dari suatu masalah program linear. Mari kita cermati kajian berikut ini. Tiap-tiap kapsul memuat tiga unsur ingredient utama dengan kadar kandungannya tertera dalam Tabel 2. Menurut dokter, seseorang yang sakit lu akan sembuh jika dalam tiga hari secara rata-rata minimal menelan 12 grain aspirin, 74 grain bikarbonat dan 24 grain kodein.
Jika harga Fluin Rp,00 dan Fluon Rp,00 per kapsul, bagaimana rencana program pembelian seorang pasien lu artinya berapa kapsul Fluin dan berapa kapsul Fluon harus dibeli supaya cukup untuk menyembuhkannya dan meminimumkan ongkos pembelian total? Table 2. Selanjutnya, kita dengan mudah menemukan bentuk masalah program linear masalah di atas. Informasi Software Autograph merupakan salah satu software yang digunakan untuk menggambarkan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linear.
Autograph juga dapat digunakan untuk menggambarkan berbagai graik fungsi, misalnya fungsi kuadrat dan fungsi logaritma. Hasilnya disajikan pada tabel berikut. Pertanyaannya, apakah ini nilai minimum fungsi di daerah penyelesaian? Seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini. Jadi, agar seorang pasien lu sembuh, harus mengkomsumsi 2 kapsul luin dan 8 kapsul luon dengan biaya Rp5.
Untuk membantu kamu semakin memahami penentuan nilai optimum suatu fungsi tujuan dengan garis selidik, mari kita selesaikan masalah kelompok tani transmigran Masalah 2. Alternatif Penyelesaian: Pada pembahasan Masalah 2. Mari kita cermati lagi gambar tersebut. Dengan demikian petani memperoleh pendapatan maksimalnya sebesar Rp Bandingkan masalah berikut ini dengan Masalah 2. Tahukah kamu berapa harga satu tanaman hias tersebut? Gambar 2. Dibutuhkan waktu yang cukup lama untuk menghasilkan satu tanaman hias dengan kualitas super.
Pemilik usaha tanaman hias memiliki lahan yang hanya cukup untuk 10 tanaman hias A saja atau 15 tanaman hias S. Dalam keadaan demikian, berapa banyak tanaman hias A dan S sebaiknya dipesan per semester jika diketahui bahwa pada akhir semester tanaman hias lama pasti habis terjual dan pemilik usaha tersebut ingin memaksimumkan laba total?
Alternatif Penyelesaian: Untuk memudahkan kita dalam membahas masalah ini, misalkan x : banyak tanaman hias A yang dipesan y : banyak tanaman hias S yang dipesan. Misal, L : luas kebun tanaman hias, Lx : luas kebun yang diperlukan untuk 1 tanaman hias A, Ly : luas kebun yang diperlukan untuk 1 tanaman hias S.
Sesuai keterangan pada masalah di atas, luas kebun hanya dapat menampung 10 tanaman hias A atau 15 tanaman hias S. Jadi secara lengkap, model matematika masalah program linear pemilik kebun tanaman hias dinyatakan sebagai berikut. Tentunya, diharapkan keterampilan kamu dalam menggambarkan daerah penyelesaian sistem tersebut sudah makin meningkat. Sekaligus juga, kamu harus makin terampil dalam memilih titik dalam daerah penyelesaian untuk menentukan nilai maksimum fungsi tujuan.
Adapun graik daerah penyelesaian sistem 1. Artinya, kita harus 11 11 menemukan nilai x dan y x, y bilangan bulat positif. Dari pembahasan Masalah 2. Namun, pada umumnya, metode garis selidik dapat menemukan nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi tujuan. Tetapi, kamu harus lebih kritis lagi dalam memecahkan masalah-masalah program linear yang mengharuskan penyelesaian berupa bilangan bulat positif. Dengan dua titik tersebut, nilai optimum fungsi sasaran dapat ditemukan melalui pergeseran ke atas atau ke bawah; ke kanan atau ke kiri garis selidik di daerah penyelesaian.
Terdapat beberapa kasus yang memerlukan ketelitian yang tinggi dalam menyelesaikan masalah program linear. Oleh karena itu terdapat tiga kondisi yang akan kita selidiki, yaitu: 1 tidak memiliki daerah penyelesaian 2 memiliki daerah penyelesaian fungsi tujuan hanya memiliki nilai maksimum atau hanya memiliki nilai minimum 3 memiliki daerah penyelesaian fungsi tujuan memiliki nilai maksimum dan minimum.
Mari kita cermati. Berikan penjelasan, kenapa fungsi tujuannya tidak memiliki nilai minimum. Bandingkan hasil yang kamu temukan dengan temanmu. Selidiki syarat agar sistem pertidaksamaan linear tersebut: i. Rani dan Ratu menjalankan suatu bisnis kecil, mereka bekerja sama untuk menghasilkan blus dan rok. Untuk menyelesaikan 1 blus, Rani dan Ratu harus bekerja sama selama 1 jam.
Untuk menyelesaikan 1 rok, Rani harus bekerja 1 jam dan Ratu harus bekerja 0,5 jam. Setiap hari, Ratu hanya mampu menyediakan 7 jam kerja, dan Ratu hanya 5 jam. Mereka hendak membuat blus dan rok yang sama banyaknya. Mereka mendapat keuntungan Rp Rancang model matematikanya. Berapa banyak blus dan rok yang selesaikan mereka? Berapa keuntungan maksimal yang mereka peroleh?
Suatu perusahaan transportasi harus mendistribusikan paket yang besarnya sama melalui dua truk pengangkut. Truk 1 memuat paket untuk setiap pengangkutan dan truk 2 memuat 80 paket untuk setiap pengangkutan. Biaya pengangkutan untuk truk 1 dan truk 2 masing- masing Rp Padahal biaya yang tersedia untuk mengangkut paket hanya Rp3. Hitunglah biaya minimal biaya pengangkutan paket tersebut. Karyawan tipe A digaji sebesar Rp Pada suatu proyek memerlukan karyawan, tetapi paling sedikit sebanyak 40 karyawan tipe B yang bekerja.
Selain itu, untuk setiap proyek, aturan perusahaan mengharuskan banyak karyawan tipe B paling sedikit 0,5 dari banyak karyawan tipe A. Hitunglah banyak karyawan tipe A dan karyawan tipe B pada perusahaan tersebut. Selesaikan Masalah 2. Jika diberikan fungsi, hitung nilai maksimum dan nilai minimum fungsi jika ada untuk setiap sistem pertidaksamaan pada Soal No. Perhatikan gambar di bawah ini.
Rancang suatu sistem pertidaksamaan yang memenuhi setiap daerah penyelesaian-penyelesaian berikut ini. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi maksimum 60 kilogram sedangkan kelas ekonomi maksimum 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi maksimum kg. Harga tiket kelas utama Rp Supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksimum, tentukan jumlah tempat duduk kelas utama. Untuk menentukan daerah penyelesaian pada bidang koordinat, selain dengan menggunakan uji titik, selidiki hubungan tanda koeisien x dan y terhadap daerah penyelesaian bersih pertidaksamaan.
Periksa nilai fungsi di beberapa titik daerah asal dan periksa bahwa nilai optimum tercapai pada suatu titik sudut daerah asal. Soal Proyek Setiap manusia memiliki keterbatasan akan tenaga, waktu, dan tempat.
Misalnya, dalam aktivitas belajar yang kamu lakukan setiap hari tentu kamu memiliki keterbatasan dengan waktu belajar di rumah, serta waktu yang kamu perlukan untuk membantu orang tuamu. Di sisi lain, kamu juga membutuhkan waktu yang cukup untuk istirahat setelah kamu melakukan aktivitas belajar dan aktivitas membantu orang tua.
Contoh : Berikut merupakan contoh keadaan penduduk menurut tingkat pendidikan dan jenis kelamin di suatu daerah tertentu. Diagram batang yang menunjukkan jumlah penduduk menurut tingkat pendidikan tanpa merinci komposisi dari jenis kelaminnya ditunjukkan pada diagram berikut.
Jelas terlihat dari diagram bahwa tingkat pendidikan sekolah dasar SD merupakan kualifikasi pendidikan yang terbanyak yang dimiliki oleh penduduk daerah tersebut, sedangkan jumlah penduduk yang pernah mengikuti kuliah di perguruan tinggi menduduki jumlah yang paling sedikit.
Diagram Lingkaran Pada penyajian data dalam bentuk diagram lingkaran, lingkaran dibagi dalam bentuk juring- juring lingkaran sesuai dengan data yang bersangkutan. Luas masing-masing juring sebanding dengan prosentase data yang bersangkutan. Tabel distribusi Frekuensi Penyajian data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi ada dua, yaitu : a. Distribusi frekuensi data tunggal b. Distribusi frekuensi data kelompok Biasanya data yang terkumpul belum terurut, untuk itu data diurutkan terlebih dahulu menurut besarnya dalam urutan naik atau turun, sehingga didapat sebuah jajaran dalam suatu tabel.
Distribusi frekuensi data tunggal Contoh : nilai ujian matematika dari 30 siswa diperoleh data sebagai berikut: Tabel frekuensi : a. Berapa banyak siswa yang nilainya 8? Berapa persen siswa yang nilainya 9? Berapa banyak siswa yang nilainya? Distribusi frekuensi data kelompok Digunakan untuk data yang ukuranya besar.
Kemudian ditentukan jumlah frekuensinya. Batas Kelas Nilai nilai pada ujung data pada setiap kelas. Batas kelas ada dua, 1 Batas kelas atas 2 Batas kelas bawah c. Titik tengah kelas Yaitu nilai tengah dari masing-masing kelas.
Soal : Lengkapi tabel berikut! Ogive ada dua, yaitu : 1. Ogive positif diperoleh dari frekuensi komulatif kurang dari atau sama dengan tepi atas berbentuk 2. Poligon frekuensi merupakan diagram garis yang menghubungkan titik tengah bagian atas sisi persegi panjang dan histogram.
Ukuran Pemusatan Data Ukuran-ukuran tersebut meliputi: rata-rata mean , data yang sering muncul modus , dan data yang berada ditengah-tengah sekumpulan data yang terurut median. Ukuran-ukuran tersebut disebut ukuran pemusatan Tendensi Sentral 1. Rata rata hitung Mean Dalam kehidupan sehari-hari, rata-rata lebih banyak dikenal, misalnya rata-rata gaji pegawai suatu perusahaan tiap bulan, rata-rata pendapatan perkapita masyarakat Indonesia, rata-rata usia siswa SMK kelas XII, dan sebagainya.
0コメント